数列の和とか級数とか. - Diary over Finite Fields

やっと色んな事が面白くなってきた。その代わりに色んなことを諦めているので知らないうちにいろんな人に迷惑をかけているのかもしれない。

今日は(今日も？)久しぶりに高校数学をしたので、高校数学のことでも書くかって思ったので少し書きます。

等差数列と等比数列の積の和

うん. すごく簡単な話.

次の和を求めよ: ${0 < r < 1}$ とするとき, ${ \begin{align} \sum_{n=0}^\infty \left(1+\frac{n}{2}\right)r^n \end{align} }$

久しぶりにこんなの計算しました*1.

ご存知のように*2, 例えば実数列 ${\{a_n\}}$ 無限和というのは部分和の列 ${S_k = \displaystyle\sum_{n=0}^k a_n}$ の極限である, つまり
${ \begin{align} \sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{k\to\infty}\sum_{n=0}^k a_n \end{align} }$
である. これは高校の教科書にも書いてある*3.

なので, 部分和をとりあえず計算すればよい. 計算する方法はご存知のように等比数列*4の和の公式を導出する方法と同じである. つまり, 部分和 ${S_k}$ と ${rS_{k}}$ の差を考えるのである. 実演しよう.

${ \begin{align} S_k = \sum_{n=0}^k a_n &= 1 + (1+1/2)r + (1+2/2)r^2 + \cdots + (1+k/2)r^k \\ rS_{k} = \sum_{n=0}^k r a_n &= \hphantom{1+ \ } (1+0)r + (1+1/2)r^2 + \cdots + (1+(k-1)/2)r^k + (1+k/2)r^{k+1} \end{align} }$

となるので,

${ \begin{align} S_{k}-rS_{k} = (1-r)S_k & = 1 + \frac{1}{2}(r + r^2 + r^3 + \cdots + r^k) - (1+k/2)r^{k+1} \\ & = 1 + \frac{r(1-r^k)}{2(1-r)} - (1+k/2)r^{k+1} \end{align} }$

これと, ${0 < r < 1}$ より, ${ \begin{align} S_k = \displaystyle\frac{1}{(1-r)}\left(1 + \frac{r(1-r^k)}{2(1-r)} - (1+k/2)r^{k+1}\right) \to \frac{1}{1-r}\left(1 + \frac{r}{2(1-r)}\right) = &\frac{2-r}{(1-r)^2} \\ & (k \to \infty) \end{align}}$