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Diary over Finite Fields

515ひかるが書き溜めたメモとコラムと雑記

有限体の乗法巡回群と具体的な準同型定理の応用について

数学

今日は前回のセミナーで学んだことを少し。

普段から(群)準同型定理は息をするように使っている人が多いと思う。証明にも頻繁に使われる定理だが、 当然具体的な応用もある。 今回はそういう話。

ここでは標数 {p} 素数とし、 位数 {q=p^f\quad (f > 0)} の有限体を{K} と書くことにすると、

一般に、次の2つの主張が成立する。

  • 位数が {n}巡回群は加法群 {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} と同型である。
  • 有限体 {K} の、 位数 {q-1} の乗法群 {K^{\times}}巡回群である。

したがって、 次がわかる。

有限体 {K} の乗法群 {K^{\times}}{\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}} と同型である。 したがって、 この意味で有限体の積を {\mathbb{Z}/(q-1)\mathbb{Z}} の和と同一視できる。

ところで、 ここで高校数学の復習をしよう。 僕らはいろいろな関数として指数関数や対数関数を学んだ。

{x \mapsto e^x}

及び、その逆関数として

{y \mapsto \log y}

を学んだ。 これらの関数が研究された大きな理由は、 人間の感覚として乗法(掛け算)よりも加法(足し算)のほうが簡単だという感覚があるからである。

すなわち、この指数対数を用いる方法で加法と乗法の同一視ができる。 これを群の言葉で書けば、

{\mathbb{R} \ni  x \mapsto e^x \in \mathbb{R_{>0}}}

が群として同型になっているということである。(ただし、 {\mathbb{R}} は通常の和で加法群であり、 {\mathbb{R}_{>0}} は通常の積で乗法群)

つまり、 実数の場合によく知られている指数、対数関数の話を、 有限体の場合に応用したのが今回の主張なのである。

これ以上の詳細は My Course in Arithmetic に譲ることにするが、 有限体の平方数を考える時に、 有限体の二乗を二倍とみなすことができる。 これが非常に有効な見方になることを予告しておく。

整数論は任意の数学を使うからとっつきにくいというか敬遠している人も多いのかもしれないし、 以前私もそういう偏見を抱いていたが、 最近はあらゆる数学の具体例を提供する興味深い分野だと思えてきた。 今後も楽しんでゆきたい。